Курс Николая Богачева «Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп»

9 февраля - 27 апреля, 2021
Онлайн курс
На русском языке

Онлайн курс Николая Богачева "Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп"

Николай Богачев (МФТИ, Сколтех) прочтет курс "Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп" в весеннем семестре 2021 года. Курс на русском языке будет проходить онлайн на платформе Zoom, каждый вторник в 17.30. Расписание предварительное, возможны изменения (они будут появляться на этой странице).

К участию приглашаются все желающие, курс рассчитан на студентов, аспирантов и исследователей.

Курс пройдет на платформе Zoom
Meeting ID: 986 2594 4049 (ссылка)
Пароль: порядок группы $S_6$

You can also write to Alexander Polyanskii (alexander.polyanskii@yandex.ru) or to Maksim Zhukovskii (zhukmax@gmail.com) if you want to be added to mailing list.

Аннотация:

Современные исследования в области геометрии, топологии и дискретных групп часто сочетают в себе арифметические, геометрические и динамические методы. Курс в основном посвящен гиперболическим мноогообразиям и орбифолдам, но также будут обсуждаться и общие вопросы про дискретные подгруппы групп Ли и арифметические группы. Особый интерес представляет теория Винберга гиперболических групп отражений, доставляющая очень интересные примеры и методы их использования в различных целях. В конце курса предполагается обзор недавних результатов, опубликованных или принятых к печати в ведущих математических журналах мира, а также обсуждение открытых проблем и гипотез, как недавно поставленных, так и с 30-40 летней историей.

Программа лекций:

9 февраля, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №1

Предварительные сведения. Топология. Алгебраическая топология. Гомотопии, накрытия, фундаментальные группы. Примеры.

Конспект лекции

Видеозапись

16 февраля, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №2

Предварительные сведения. Гладкие многообразия над R и C. Алгебраические многообразия над произвольным полем k. Примеры.

Конспект лекции

Видеозапись

2 марта, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №3

Предварительные сведения. Группы Ли над R и C. Простые и полупростые группы. Системы корней. Схемы Дынкина.
9 марта, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №4

Предварительные сведения. Алгебраические k-группы, где k — поле алгебраических чисел.
16 марта, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №5

Симметрические однородные пространства. Пространства постоянной секционной кривизны: пространство Евклида $E^n$, $n$-мерная сфера $S^n$, (гиперболическое) пространство Лобачевского $H^n$.
23 марта, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №6

Мера Хаара на группе. Дискретные подгруппы групп Ли. Решетки в группах Ли. Простейшие свойства решеток. Примеры. Формулировка теоремы о сильной жесткости (Мостов, Прасад, Маргулис, Рагунатан) решеток в полупростых группах Ли.
30 марта, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №7

Дискретные группы преобразований. Фундаментальная область дискретной группы преобразований. Обобщенные выпуклые фундаментальные многогранники (область Дирихле). Метод Пуанкаре.
6 апреля, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №8

Гиперболические многообразия и орбифолды. Динамическое доказательство теоремы жесткости Мостова для кокомпактных подгрупп в группе Ли $Isom(H^n) = PO(n,1)$.
13 апреля, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №9

Арифметические и квазиарифметические дискретные группы. Гипотеза Сельберга и Пятецкого-Шапиро ( ~ 1960 год). Формулировки классических результатов: теорема Бореля — Хариш-Чандры, супержесткость Маргулиса, знаменитая теорема Маргулиса (~ 1974 год) об арифметичности решеток в полупростых группах Ли вещественного ранга > 1. Примеры.
20 апреля, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №10

Теория Винберга (~ 1967 год) гиперболических групп отражений (обзор). Многогранники и схемы Кокстера. Арифметические группы отражений и критерий арифметичности Винберга. Отсутствие многогранников Кокстера в высоких размерностях. Конечность числа арифметических групп отражений. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.
27 апреля, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №11

Неарифметические гиперболические многообразия Громова — Пятецкого-Шапиро (~ 1986 год). Квазиарифметические многообразия Агола — Белолипецкого — Томсона (~ 2010). Неарифметические группы отражений типа Громова — Пятецкого-Шапиро (Винберг, 2014). Примеры.
4 мая, вторник
17.30 (MSK)

Лекция №12

Арифметика гиперболических многообразий и орбифолдов. Вполне геодезические подпространства гиперболических орбифолдов. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.

Video recording of the course:

Язык курса - русский. Курс рассчитан на студентов, аспирантов и исследователей.