Онлайн курс Николая Богачева "Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп"
Николай Богачев (МФТИ, Сколтех) прочтет курс "Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп" в весеннем семестре 2021 года. Курс на русском языке будет проходить онлайн на платформе Zoom, каждый вторник в 17.30. Расписание предварительное, возможны изменения (они будут отражаться на этой странице).
К участию приглашаются все желающие, курс рассчитан на студентов, аспирантов и исследователей.
Аннотация:
Современные исследования в области геометрии, топологии и дискретных групп часто сочетают в себе арифметические, геометрические и динамические методы. Курс в основном посвящен гиперболическим мноогообразиям и орбифолдам, но также будут обсуждаться и общие вопросы про дискретные подгруппы групп Ли и арифметические группы. Особый интерес представляет теория Винберга гиперболических групп отражений, доставляющая очень интересные примеры и методы их использования в различных целях. В конце курса предполагается обзор недавних результатов, опубликованных или принятых к печати в ведущих математических журналах мира, а также обсуждение открытых проблем и гипотез, как недавно поставленных, так и с 30-40 летней историей.
Страница курса на сайте Николая Богачева: nvbogachev.netlify.app/teaching/gaddg21s/. На ней конспекты и видео записи лекций появляются раньше.
Программа лекций:
17.30 (MSK)
17.30 (MSK)
17.30 (MSK)
Лекция №3
Еще немного римановой геометрии (изометричные отображения римановых многообразий, вполне геодезические подмногообразия, римановы многообразия с краем) и геометрии Лобачевского (метрики и метрические тензоры в разных моделях, геодезические, компактификация, изометрии и классификация изометрий: эллиптические, параболические и локсодромические/гиперболические движения)17.30 (MSK)
Лекция №4
Действия групп гомеоморфизмами, элементы теории групп, геометрическая теория групп, дискретные группы преобразований, дискретные группы движений и дискретные подгруппы групп Ли: вполне разрывные действия групп, дискретные подгруппы топологических групп, конечно порожденные и конечно представимые группы, свободность от кручения и лемма Сельберга (без док-ва), свободные группы, разрешимые группы, альтернатива Титса (без док-ва), пинг-понг лемма (без док-ва), мера Хаара на локально компактной группе, решетки в группах Ли (дискретные подгруппы конечного кообъема по мере Хаара), фундаментальная область для дискретной группы преобразований и примеры.17.30 (MSK)
Лекция №5
Мера Хаара на классических группах GL(n,R), группа строго верхнетреугольных матриц, PSL(2,R), и т.д. Решетки (дискретные подгруппы конечного кообъема по мере Хаара) в группах Ли и простейшие свойства решеток. Конечность объема фундаментальной области для решетки и компактность фундаментальной области для равномерной решетки. Область Дирихле. Фундаментальная область как обобщенный выпуклый многогранник. Равенство объемов фундаментальных областей.17.30 (MSK)
Лекция №6
Классификация изометрий пространства Лобачевского: эллиптические, параболические и локсодромические движения. Предельное множество (the limit set) и его свойства. Каспы фундаментальных многогранников. Каспы поверхностей и многообразий. Идея доказательства пинг-понг леммы и группы Шоттки. Метод Пуанкаре.17.30 (MSK)
Лекция №7
Гиперболические поверхности - примеры. Геометризация поверхностей. Модулярная группа Клейна. Группы отражений. Эллиптические и параболические группы отражений. Теория Винберга гиперболических групп отражений. Многогранники Кокстера и схемы Кокстера. Критерии конечности объема и компактности для гиперболических многогранников Кокстера. Отсутсвие компактных многогранников Кокстера пространствах Лобачевского высокой размерности. Дискретные группы евклидовых изометрий. Теорема Бибербаха. Аффинные плоские многообразия и их фундаментальные группы. Гипотеза Ауслендера. Наличие свободных подгрупп в решетках в PO(n,1).17.30 (MSK)
Лекция №8
Основные концепции геометрической теории групп: графы Кэли, квази-изометрии, фундаментальная лемма геометрической теории групп (лемма Шварца – Милнора), гиперболичность по Громову. Деформации поверхностей: прямоугольные 6-угольники, гиперболические штаны, pants decomposition of surfaces, пространства модулей, пространства Тайхмюллера, mapping class groups. Формулировки теорем жесткости - Мостов, Маргулис, Прасад.17.30 (MSK)
17.30 (MSK)
Лекция №10
Доказательство теоремы жесткости Мостова, часть 2: динамика и эргодическая теория, эргодичность геодезических потоков на гиперболических многообразиях, Howe — Moore ergodicity theorem, эргодичность действия группы, конформность на границе = изометричность, 2 подхода к завершению доказательства жесткости Мостова.17.30 (MSK)
17.30 (MSK)
Лекция №12
Алгебраические k-группы: k-группы, простые и полупростые k-группы, максимальные k-торы, классификация Титса полупростых групп. Три типа арифметических решеток в группе Ли PO(n,1): квадратичные формы, кватернионные алгебры и триальность. Теория Винберга гиперболических групп отражений. Критерий арифметичности. Конечность числа и классификация максимальных арифметических групп отражений в пространствах Лобачевского: известные результаты и открытые проблемы.17.30 (MSK)
Лекция №13
Неарифметические многообразия Громова и Пятецкого-Шапиро. Доказательство их неквазиарифметичности. Квазиарифметические многообразия Агола, Белолипецкого, Томсона. Неарифметические группы отражений типа Громова — Пятецкого-Шапиро (Винберг, 2014).17.30 (MSK)
Лекция №14
Вполне геодезические подпространства гиперболических орбифолдов. Идея доказательства недавно полученного (2018-2021) критерия арифметичности: гиперболический орбифолд арифметичен тогда и только тогда, когда он содержит бесконечно много вполне геодезических подорбифолдов.Язык курса - русский. Курс рассчитан на студентов, аспирантов и исследователей.