Пленарные докладчики
Секционные докладчики
Расписание
The crossing number of a graph is the minimum possible number of edge crossings in a drawing of the graph in the plane. This notion goes back to Turán’s Brick Factory Problem from the 1940s, but over the years different authors have adopted slightly different definitions. About twenty-five years ago, Géza Tóth and I wrote a paper titled “Which crossing number is it, anyway?” in which we distinguished several competing notions of crossing numbers and analyzed their relationships. Since then, the study of crossing numbers has grown into a substantial area of research in combinatorics and theoretical computer science, with more than a thousand papers devoted to various aspects of the topic. Despite this flurry of activity and the introduction of dozens of new variants, many of the most intriguing problems remain unsolved.
In this talk, after a whirlwind survey of the field, I will report on some recent progress on crossing numbers, including joint work with Jacob Fox and Andrew Suk.
Будут обсуждены две открытые проблемы о связи внутренней и внешней геометрий выпуклого трехмерного многогранника.
Одна из них (от многогранника к развертке) --- проблема Дюрера (1975 г., G. Shephard, Oberwolfach, ранее была известна на уровне фольклора) о существовании у выпуклого многогранника "реберной" развертки. Суть проблемы: дан компактный выпуклый многогранник, можно ли разрезать его поверхность вдоль ребер так, чтобы она разворачивалась на плоскость в простой, то есть самонепересекающийся связный многоугольник. Предположение о том, что такая реберная развертка существует для любого выпуклого многогранника, называют именем великого художника в связи с тем, что в своем учебнике для художников Альбрехт Дюрер при изучении многогранников строит именно такие развертки для весьма сложных многогранников. Будет обсужден ряд результатов в этом направлении, а также предложена "Анти-Дюрер" альтернатива.
Другая проблема (от развертки к многограннику) связана со знаменитой теоремой А.Д. Александрова "о склеивании многогранника из данной развертки". Теорема Александрова описывает необходимые и достаточные условия на развертку, чтобы она была разверткой выпуклого многогранника. В дальнейшем А.Д. Александров, опираясь на этот результат, дал решение знаменитой проблемы Вейля о вложении. Так как выпуклый многогранник с данной разверткой единственен с точностью до конгруэнтности, интересующая нас проблема состоит в том, как по метрике развертки восстановить этот многогранник. Эта трудная, нерешенная проблема будет обсуждена для некоторых частных случаев разверток, так называемых "гамильтоновых разверток", а также будет рассказано о том, как восстановить многогранник по развертке, имеющей не более 5 вершин положительной кривизны (результат получен совместно с М.И.Штогриным).
В 1842 году Дирихле опубликовал свою знаменитую теорему, положившую начало теории диофантовых приближений. Предложенный им подход тут же позволил Лиувиллю доказать существование трансцендентных чисел. Развитие этих идей привело к появлению понятий меры иррациональности и меры трансцендентности. Впоследствии, благодаря Минковскому, стало понятно, что во многих задачах, возникающих в теории диофантовых приближений, можно довольно эффективно применять методы геометрии чисел. В частности, геометрический подход довольно естественно приводит к самым разным многомерным аналогам меры иррациональности и так называемым диофантовым экспонентам. В докладе мы обсудим различные диофантовы экспоненты и связанную с ними геометрию.
Будет рассказано о том, как рассуждения из теоремы Минковского-Главки позволяют получать результаты о положительно определенных совершенных квадратичных формах.
The investigation of thresholds for different properties remains one of the most interesting layer of problems in the theory of random subsets in discrete structures. In the current talk we will discuss problems concerning thresholds for fractional coloring properties of random hypergraphs. The results we will present show a curious phenomenon that in some sense the issue is easier for fractional colorings than for usual proper colorings.
In the random graph process, edges are added uniformly at random, one at a time. The moments at which graph properties first appear in this process, known as hitting times, have been studied extensively since the foundational papers of Erdős and Rényi, Bollobás, and others, revealing striking phase transition phenomena. A classical example is that, with high probability, the graph becomes connected precisely when the last isolated vertex disappears. Likewise, a Hamilton cycle appears exactly when the last vertex of degree one disappears. It has long been conjectured that these hitting times mark the emergence of much richer structure. In particular, it is conjectured that, with high probability, as soon as all but two vertices of degree one have disappeared, the random graph already contains every spanning tree. In this talk, I will discuss the history of this conjecture and present some recent progress toward its resolution.
A family of sets is called t-intersecting if any two sets in the family have intersection at least t. The celebrated Ahlswede-Khachatrian theorem determines the largest size of a t-intersecting family of k-element subsets of {1,...,n} for any n,k,t. Intersection theorems have been studied for many other objects, such as permutations, vector spaces, partitions etc. However, until recently, very few complete t-intersection theorems were known. In this talk, I'll discuss some recent progress on the topic, in particular, a complete t-intersection theorem for permutations. This resolves a 50-year old question of Frankl and Deza.
In classical problems such as counting unit distances among nn points in $R^d$, determining the chromatic number of $R^d$, or computing the fractional chromatic number, most known lower bounds come from analyzing finite graphs. In such settings, it is usually sufficient to assume that the vertex coordinates lie in some finite extension of $Q$. Until recently, however, little attention has been paid to the case where the coordinates are restricted to a fixed algebraic field. A construction found in May 2026 using LLM for the unit distances problem is based on properties of a tower of algebraic extensions whose existence is guaranteed by the Golod–Shafarevich theorem (1964). It seems likely that new connections between the theory of geometric graphs and results from algebraic geometry will soon be discovered. In this talk, I am going to discuss some known results and questions where new connections are to be expected.
Erdos-Ginzburg-Ziv theorem is the statement that among any 2n-1 integers one can find n whose sum is divisible by n. The EGZ problem is about obtaining higher dimensional versions of this result. I learned about this question from lectures by A.M. while I was in highschool. I'll discuss the history and my contribution.
We will give a brief overview of applications of discrepancy theory within combinatorics and beyond. The talk will discuss discrepancy-based methods in the design of approximation algorithms and present new bounds for fair division of indivisible goods.
In the talk several results on the properties of the noisy binary choice (Ising) game of many agents are reviewed. In particular, we discuss its static expectation and likelihood equilibria and characteristic dynamical regimes, a phenomenon of strategic cooling in a game with forward-looking agents and breaking of detailed balance in a k-flip game.
Let $[n]=\{ 1,2,\ldots ,n\}$ be our underlying set. ${[n]\choose k}$ will denote the family of all $k$-element subsets of $[n]$. A family ${\cal F}\subset {[n]\choose k}$ is called intersecting if any pair of its members have a non-empty intersection. The celebrated theorem of Erdős, Ko and Rado determines the maximum size of an intersecting family of $k$-element subsets: If $2k\leq n, {\cal F} \subset {[n]\choose k}$ is intersecting then $|{\cal F}|\leq {n-1\choose k-1}.$ Another problem raised by Erd\H os was to determine the largest family ${\cal F}\subset {[n]\choose k}$ such that it contains no $\ell$ pairwise disjoint members. He proved that for sufficiently large $n$ the best is to choose all sets meeting a fixed $\ell -1$-element set, so the maximum of $|{\cal F}|$ is ${n\choose k }-{n-\ell +1\choose k}$. He conjectured that either this family is the largest or ${[\ell k-1]\choose k}$. This was proved for smaller and smaller $n$ during the years, but it is still not completely solved.
Choose an integer $\ell \geq 2$ and take the following sum.
$\sum_{1\leq i < j\leq \ell}|F_i\cap F_j|.$ (1)
If ${\cal F}$ is intersecting then every term here is at least 1, therefore the total sum is at least ${\ell \choose 2}$. Does this weaker condition ${\ell \choose 2}\leq \sum_{1\leq i < j\leq \ell}|F_i\cap F_j|$ imply the upper bound of EKR? Much more is true for large $n$. We (Frankl, Katona, Kartal Nagy) recently proved that ${\ell \choose 2}$ can be replaced by ${\ell -1 \choose 2}+1$. However ${\ell -1 \choose 2}$ is not good enough, as a construction shows containing more than ${n-1\choose k-1}$ sets. We proved (jointly with Jian Wang) that this construction is the best possible for large $n$. The condition of the Erd\H os Matching Conjecture can also be formulated in our new language: (1) is not zero. Some newer similar results are introduced connecting the two problems.We note that an argument by Rogers (1958) bounding the density of ball packings actually gives a proof of Vaaler's theorem (1979) about sections of the cube. We show that this argument also allows to deduce some generalization of Vaaler's theorem and leaves some open questions.
Steinitz's theorem states that if the origin is in the interior of the convex hull of a set $X$ in $R^d$, then $X$ contains a subset $Y$ of size at most $2d$ such that the origin lies in the interior of the convex hull of $Y$. Easy examples show that the bound $2d$ is best possible here. We prove the colourful version of this theorem and characterize the cases when exactly $2d$ sets are needed. Joint work with Yun Qi.
Подмножество $C$ векторов $d$-мерного булева куба $B^n=\{0,1\}^n\subset \mathbb{R}^n$ называется $t$-независимым, если для любых двух различных его подмножеств $U,V$, каждое мощности не более $t$, их выпуклые оболочки не пересекаются. Строятся верхние и нижние границы для максимальной мощности $t$-независимых множеств, показывается как эта задача связана с задачей о поиске фальшивых монет на точных весах и задачей сжатого измерения. Особо расматривается случай $t=2$.
Доклад основан на совместной работе с А. Джанабековой, И. Камель и Т. Ф. Рабие.
Мы обсудим несколько родственных открытых проблем, связанных с поиском минимального числа цветов, необходимых для раскрасить пространства так, чтобы никакая копия правильного симплекса с единичной длинной стороны не оказалась бы полностью одноцветной.
Локация
Мы будем рады всем гостям конференции! Если вы не являетесь студентом или сотрудником МФТИ, не забудьте взять с собой паспорт. Также мы просим всех гостей конференции зарегистироваться через Google Форму.
