Просеминар

Просеминар

По средам
весенний семестр 2019 / 2020
Online
через сервис zoom

Просеминар — это еженедельные встречи студентов, аспирантов и научных сотрудников для совместного решения задач, над которыми они начали думать на днях науки, для совместного обсуждения, возникающих новых задач в своей науке, обмена идеями и т.д., а также — это семинар, на котором мы читаем и иногда обсуждаем интересные статьи.

Анонсы:
25 марта 16:00 - 20:00

На этой неделе мы будем решать задачи. Чтобы принять участие, пожалуйста, напишите e-mail Саше Полянскому. Ближе ко времени семинара он пригласит всех желающих на онлайн-конференцию в zoom.

Архив:
18 марта 16:00 - 20:00

На следующем семинаре Дмитрий Захаров продолжит рассказывать про Эрдеша-Гинзбурга-Зива.

Я сформулирую обобщение целочисленной теоремы Хелли и выведу из нее некоторый частичный результат про ЭГЗ. В основе доказательства лежит несложный факт про центральные точки множеств. Если останется время, я расскажу, какие дополнительные сложности возникают в общем случае.

11 марта 16:00 - 20:00

Гриша Иванов выступит с докладом "Об объемах центрально-симметричных многогранников".

Известно, что любой центрально-симметричный многогранник аффинно эквивалентен как некоторому центральному сечению многомерного куба, так и некоторой проекции многомерного кросс-политопа. С другой стороны, как сечения куба, так и проекции кросс-политопа допускают простое линейно-геометрическое описание. В докладе будут представлен способ переформулировки задачи об оценках объема проекции многогранников на $k$-мерное подпространства на линейно-геометрический язык, позволяющий говорить о "шевелениях" проекции как множества в $k$-мерном подпространстве. В докладе будут обсуждаться простые алгебраические соотношения естественным образом возникающие в этих задачах. Также мы покажем, что среди всех проекций многомерного кросс-политопа на 3-х мерное пространство стандартный октаэдр имеет наибольший объем.

4 марта 16:00 - 20:00

Начало обсуждений в 16:00. В 18:30 с докладом выступит Ваня Митрофанов. Доклад основан на совместных результатах с Анной Эршлер.

Пусть есть метрическое пространство (например, граф. Или многообразие. Или конечно порождённая группа со словарной метрикой), и хочется все точки этого пространства упорядочить как можно "лучше". То, насколько хорошо упорядочены точки, будем измерять так: для каждого конечного подмножества точек строим путь, индуцированный порядком (то есть от первой с точки зрения порядка точки ко второй, потом к третей и так далее), и смотрим, во сколько построенный путь длиннее кратчайшего (то есть точного решения задачи коммивояжёра). Если взять супремум такого отношения по всем множествам фиксированной мощности $k$, получается функция "растяжения", зависящая от $k$.

Если упорядочить точки квадрата в соответствии с посещением кривой Пеано, то функция растяжения логарифмична по $k$. Этот красивый пример нашли в 1982 году Л. Плацман и Дж. Бартольди. Другой известный результат — конечное метрическое пространство из $n$ точек можно упорядочить так, что растяжение на любом подмножестве будет не более чем ${\log^4 n}$ / ${\log {\log n}}$.

Нас интересует как наилучшее возможное для данного пространства асимптотическое поведение функции растяжения, так и конкретные значения этой функции. Мы связываем наличие "хорошего" порядка с асимптотической размерностью пространства. Так, например, у декартова произведения нескольких бесконечных деревьев есть порядок с логарифмичной функцией растяжения, у дискретного подмножества пространства Лобачевского есть порядок с ограниченной функцией растяжения. А для любого порядка на бесконечномерном булевом кубе функция растяжения линейная, и это следует из топологических соображений.

26 февраля 16:00 - 20:00

С 16:00 по 18:30 решаем задачи. Дальше Дмитрий Захаров расскажет про свою версию теоремы Хелли, похожую в чём-то на так называемую целочисленную теорему Хелли. Эта теорема пригодилась ему для доказательства многомерной версии теоремы Эрдёша-Гинзбурга-Зива (см. статью).

12 февраля 16:00 - 20:00

В среду 12.02 Александр Полянский расскажет про применение slice rank method на примере теоремы типа Эрдёша-Гинзбурга-Зива по статье Дмитрий Захаров дорасскажет про работу Алона-Дубинера.

5 февраля 16:00 - 20:00

В среду 05.02 докладывает Дмитрий Захаров о многомерной версии теоремы Эрдёша-Гинзбурга-Зива. Его рассказ будет состоять из нескольких докладов. Первый из них будет по статье Алона-Дубинера. А на одном из последующих семинаров он расскажет про свой результат. Начало просеминара в 16 часов, а доклада — в 18:30.